【案例分析題】

案例：某教師在對根與系數(shù)關(guān)系綜合運(yùn)用教學(xué)時(shí)，給學(xué)生出了如下一道練習(xí)題：
設(shè)α、β是方程x²-2kx+k+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值是（）。
A.
B.8
C.18
D.不存在
某學(xué)生的解答過程如下：
利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：α+β=2k，αβ=k+6
所以。故選A。
問題：（1）指出該生解題過程中的錯誤，分析其錯誤原因；
（2）給出你的正確解答；
（3）指出你在解題時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法。